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向量组的线性表示的充要条件定理的扩展

2024-03-03 21:25:42

这是课本上的一段原文:
看不太懂,不知道定理2具体怎么个扩展法
感谢高手指点:http://hi.baidu.com/lovesophialove/blog/item/af34f23ddee9a3ea3c6d9737.html

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第三、四章 线性方程组与线性空间

目的要求

学习本章,要求读者掌握向量组线性相关、线性无关,向量组和矩阵的秩,正交向量组等重要概念,了解线性空间的基本知识,熟练掌握线性方程组解的结构及其判别法则,熟练运用初等变换方法求矩阵的秩、逆阵,求解齐次和非齐次线性方程组。

§1 n维向量
一、向量的定
n个有顺序的数 所组成的数组 叫作n维向量;数 叫作向量α的分量(或坐标)。分量是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量。
零向量、向量相等、负向量、向量之和、数与向量乘积的概念应掌握。
向量的运算法则: 是n维向量, 是数,0表示n维零向量,则
1. ;
2. ;
3. .
4.
5.
6.
7. .
8.

二、线性空间的概念
设M是一个非空集合,K是一个数域,又设
1. 在M中定义一种运算,称为加法即对M中任意两个元素α和β,都按某些法则对应于M内唯一确定的元素,记为;
2. 在M中定义一种运算,称为数乘,即对M中任意元素α和数域K中任意实数k,都按某一法则对应于M内唯一确定的一个元素,记为 。
对引进的加法和数乘,集合M中元素在此种运算下若满足如下8条规则:
(1)结合律,即;
(2)交换律,即;
(3)在M中难义着离田有一个零元素0,使对M中任一元素α,有 ;
(4)对于M中任一元素α,都存在M中的负元素β,使 ;
(5)对数域中的数1,有 ;
(6)对任意K中的数k,l,有 ;
(7)对任意K中的数k,l,有 ;
(8)对K中任一数k,有 ,则称M是数域K上的一个线性空间。
显然,n维实向量的全体构成一个线性空间,也称为向量空间,记作 。

三、线性相关与线性无关
1. 线性表示:对于向量 ,如果有一组数 ,使 则说向量α是 的线性组合,或说α可由 线性表示。
2. 线性相关和线性无关:设有n维向量组 ,如果存在一组不全为零的数 ,使得 则称向量组 线性相关。否则称它线性无关。
定理1 向量组线性相关的充要条件是其普土找气来星中至少有一向量能用组中其余向量线性表出。
定理2 设 . 若r维向量组 线性无关,则r+1 维向量组 亦线性无关。
推论 r维向量组的每个分量添上n-r 个分量,成为n维向量组,若r维向量组线性无关,则n维向量组亦线性无关。反之,若n维向量组线性相关,则r维向量组亦线性相关。
定理3 任意n+1 个n维向量都是线性相关的。
推论 设 是m个n维向量。如果m>n ,那么这m个向量必定线性相关。

§2 向量组的秩
一、向量组的等价
设有两个n维向量组:

定义 如果向量组B中的每个向量都可由向量组A中的向量线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示。如果向量组B可由向量组A线性表示,且向量组A也能由向量组B线性表示,则称向量组A与向量组除的势B等价。
向量组之间的等价有如下性质:
1. 反身性 每一个向量组都与它自身等价;
2. 对称性 如果向量组A与向量组B等价,则向量组B与向量组A等价;
3. 传递性 如果向量组A与向量组B等价,向量组B与向量组C等价,那么向量组A与向量组C等价。
二、极大线性无关组
定义1 设S是n维向量所组成的向量组,在S中选取r个向量 ,如果满足:
(1) 线性无关,
(2)任取 ,总有 ,α线性相关,
则称向量组 为向量组S的一个极大线性无关组。
定理 设有两个n维向量组

如果A组线性无关,且A组可由B组线性表示,则A组向量个数r必不大于B组向量个数s,即r≤s 。
推论1 等价的线性无关的向量组所含的向量个数相同。
推论2 在一个向量组中,它的任意两个极大线性无关组的向量个数相同。
定义2 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
例 的极大无关组是 ,故向量组的秩是2。另外, 也是向量组的极大无关组,故一个向量组中的极大线性无关组不唯一。
推论3 设向量组A的秩为k,向量组B的秩为l。若A能由B线性表示,则k≤l 。
推论4 等价的向量组有相同的秩。

三、基与维数
设V为向量空间,如果r个向量 ,且满足:
(1) 线性无关;
(2)V中任一向量都可由 线性表示,那么,向量组 称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间。
若把向量空间看作向量组,则V的基就是向量组的极大线性无关组,V的维数就是向量组的秩。

§3 矩阵的秩
定义 若m×n 矩阵A的m个行向量所构成的向量组的秩为r,则称r为矩阵A的秩,记作 .
定义 在m×n 矩阵A中任取k行、k列 ,位于这些行列交叉处的元素构成一个k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式。


由A的第1行、第2行和第2列、第4列构成的2阶子式为

关于矩阵的秩,有如下定理:
定理1 设矩阵A中有一个r阶子式 ,且所有含有D的r+1 阶子式(如果存在的话)都等于零,则A的秩
定理2 矩阵的行秩等于列秩。
定理3 设 是n个n维向量,以这n个向量为列,构造n阶方阵

那么,向量组 为线性无关的充要条件为

§4 矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换
下面3种变换称为矩阵的初等行(列)变换:
1. 对调矩阵的任意两行(列);
2. 将矩阵中某一行(列)的所有元素乘上一个非零常数k;
3. 把矩阵中某一行(列)的所有元素的k倍加到该矩阵的另一行(列)对应元素上去。
若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作AB。
定理1 若矩阵A经过有限次初等行(列)变换变成矩阵B,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。
定理2 若AB,则 . 当A为n阶可逆方阵时,由于 , 故称可逆方阵为满秩方阵,而奇异方阵为降秩方阵。

二、初等方阵
由单位阵E经过一次初等变换得到的方阵,称为初等方阵。
3种初等变换对应着3种初等方阵。
1. 将单位阵E的第i行乘以非零数λ,可得矩阵
第i行
2. 将单位阵的第i行与第j行互换,可得矩阵

3. 将单位阵E的第i行乘以数 加于第j行,可得矩阵

显然,3种初等方阵都是可逆的。
定理 A为可逆方阵的充要条件是存在有限个初等方阵 ,使 。
推论 m×n矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶可逆方阵P与n阶可逆方阵Q,使得 。
由定理可利用初等变换计算逆阵的方法:
设要计算 ,先作辅助的 矩阵 对M作一系列初等行变换,使A所在的位置变为E,这相当于对上式两端左乘一系列初等方阵 ,使

由于 ,所以

§5 向量的内积与正交向量组
一、内积与正交向量组的定义
定义1 设有n维向量 ,

令 ,则 称为向量x与y的内积。
内积是向量的一种运算,用矩阵记号表示,当x和y都是列向量时,有 .
内积满足下列运算规律(其中x,y,z为n维向量, 为实数):
(1)对称 ;
(2)线性 ;
(3)齐次 ;
(4)非负 若 ,则(x,y)>0 。
定义2 令 称为n维向量x的长度(或范数),当 时,称x为单位向量。
定义3 在 空间中,任意两个向量x和y的内积为 .
若 ,就称向量x与y正交。
定义4 对于一组向量 ,若
(1)每一向量均为非零向量: ;
(2)向量两两正交:

就称向量组 为正交向量组;若还满足:
(3)每一向量为单位向量: ,就称该向量组为标准正交向量组。
定理 正交向量组必定是线性无关向量组。
因此,若采用正交向量组作向量空间的基,称为向量空间的正交基;若采用标准正交向量组作向量空间的基,称为向量空间的正交规范基。
例如:

是R3空间的一个正交基;

是R4空间的一个正交规范基。

二、正交规范基的求法
设 是向量空间V的一个基,要求V的一个正交规范基。这也就是要求一组两两正交的单位向量 ,使 与 等价。这样一个问题,称为把 这个基正交规范化。
下面把 正交规范化:取


…,

容易验证 两两正交,且 与 等价。
然后把它们单位化,即取

就得V的一个正交规范基。

三、正交阵
定义 如果n阶方阵A满足 (即 )
其中E为单位矩阵,就称A为正交阵。
定理 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的行向量组或列向量组是标准正交向量组。

§6 线性方程组
一、线性方程组有解判别定理
线性方程组
(1)
有解的充分必要条件为它的系数矩阵

与增广矩阵

有相同的秩。
若线性方程组为齐次方程组,则此时系数矩阵与增广矩阵必同秩,因而齐次线性方程组一定有解。例如零向量就是方程组的解,称为方程组的零解或平凡解。
下面我们给出n元齐次线方程组有非零解的判别定理: 对n元齐次线性方程组,若系数矩阵的秩r等于n,则齐次方程组无非零解;若系数矩阵的秩r小于n,则齐次方程组有无穷多个非零解存在。

二、齐次线性方程组的解的结构
定义 齐次线性方程组
(2)
的一组解 称为它的一个基础解系,如果:
(1)它的任一解都能表示成 的线性组合;
(2) 线性无关。
定理 在齐次线性方程组有非零的情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解的个数等于n-r ,这里r表示系数矩阵的秩。(证明)

三、一般线性方程组的解的结构
定理 如果 是方程组(1)的一个特解,那么方程组(1)的任一解可表示为 其中η是相应的齐次方程组的解。(证明)

四、高斯消去法
现在介绍求线性方程组的数值方法--高斯消去法,其基本思想是采用求解方程组的通常的技巧,把原方程组化为具有上三角系数阵的等价方程组再求解,一般经过两个步骤:消元过程和回代过程。现通过举例略加说明。
例 求解方程组:
解 对应于方程组的增广矩阵:

对增广矩阵进行初等变换(消元过程):

对应的方程组为

由此得(回代过程)

所以,原方程组的解为

电子计算机上一般都备有高斯消去法的软件,用来求解大型的线性代数方程组。
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