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设有实对称矩阵        求一个正交矩阵P,使P-1AP成对角矩阵.

2024-04-15 06:44:50


设有实对称矩阵
   
   求一个正交矩阵P,使P-1AP成对角矩阵.

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先求A的特征值,由A的特征方程

得A的全部特征值为λ1=λ2=1,λ3=10.
对A的单特征值λ3=10布读住务降吧独,由解方程组(10E-A)x=0,得对应的特征向量可取为ξ3=(1,2,-2)T.将ξ3单位化,即得属于特征值λ3=10的单位特征向量.
求属于2重特征值λ1=λ2=1的标准正交的特征向量,可有以下几种解法.
解法1 这种方法是先求出方程组(E-A)x=0的基础解系,再将该基础解系先正交化,再单位化.
对方程组(E-A)x=0的系数矩阵施行初等行变换:

得同解方程组 x1+2x2-2x3=0 (4-29)
于是得A的属于特征值λ1=λ2=1的线性无关特征向量
α1=(-2,1,0)T,α2=(2,0,1)T
将α1,α2正交单位化.先正交化,即令

再单位化,即令

则e1,e2就是属于λ1=λ2=1的标准正交的特征向量,再由实对称矩阵的性质2知e3与e1,e2均正交,因此e1,e2,e3就是A的标准正交的特征向量.于是得正交矩阵

从而有
解法2 这种方法是逐次求出齐次线性方程组的非零解,从而得到属于λ1=λ2=1的相互正交的特征向量。
在得到(4-29)式后,先任取属于λ1=λ2=1的一个特征向量,例如可取
ξ1=(0,1,1)T
再取特友激刚盐认灯门合征向量ξ2=(x1,x2,x3)T,且使ξ1与ξ2正交,即〈ξ1,ξ2〉=0,于是知ξ2是齐次线性方程组

的非零解(注意(4-30)式的第1式表明ξ2是方程(4-29)的解:第2式表明〈ξ1,ξ2〉=0),于是可取方程组(4-30)的一个明显的非零解
ξ2=(4,-1,1)T
则ξ1,ξ2就是属于特征值λ1=λ2=1的相互正交的特征向量,将它们再单位化,即令ei=,便得属于λ1=λ2=1的标准正交的特征向量

于是得正交矩阵P及对角矩阵D:

从而有P-1AP=PTAP=D.
解法3 这种方法是在属于λ1=λ2=1的特征向量中,即方程(4-29)的由基础解系所表示的通解中,由适当确定通解中参数的值,以得出两个相互正交的特征向量.
在得出(4-29)式后,可得属于λ1=λ2=1的全体特征向量为
(c1,c2为不全为零的任意常数)
先任取其中的一个特征向量,例如可取α1=(-2,1,0)T,再取与α1正交的特征向量

其中参数c1,c2由〈α1,α2〉=0确定,即由
-2(-2c1+2c2)+c1=5c1-4c2=0
确定,例如可取c1=4,c2=5,从而得α2=(2,4,5)T.α1,α2就是属于λ1=λ2=1的相互正交的特征向量,再单位化,即得属于λ1=λ2=1的标准正交的特征向量.以下同解法1。对于n阶实对称矩阵A,求正交矩阵P,使P-1AP=D为对角矩阵,就是要求A的n个标准正交的特征向量(它们就是所求正交矩阵P的列向量组),这也就是:对于A的每个单特征值λi,求出齐次线性方程组(λiE-A)x=0的一个单位解向量;对于A的每个重特征值λi,求出齐次线性方程组(λiE-A)x=0的解空间的一个标准正交基.注意由于齐次线性方程组解空间的标准正交基不是惟一的,因而所求出的正交矩阵P也不是惟一的.
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